【物理難題】連接體運動：斷繩後的張力與追撞時間完全解析
連接體運動是高中物理中，應用牛頓第二定律的經典題型。它不僅考驗你對系統整體的分析能力，更在細節中隱藏著許多觀念陷阱。
今天，我們將透過一個包含兩種情境的典型例題，從「繩子張力」的判斷，一路分析到「相對運動」的追撞計算，讓你徹底征服這個主題。
問題 16：繩子斷裂前的張力計算
題目：
質量均為 5kg 的 A、B 兩物體，各繫於一長度為 1 公尺之細繩的兩端，另以一細繩繫住 B，今施 100 牛頓向右之水平力 F 於 B 物體，若 A 物體與地面之動摩擦係數為 0.4，B 物體與地面之動摩擦係數為 0.1，g=10 m/s²，而外力從兩物體靜止開始作用 4 秒後與 B 物連接之細繩突然斷裂，則此時 A、B 兩物體間繩子的張力變為多少牛頓？
問題 17：繩子斷裂後的碰撞時間
題目：
承上題，若將 A、B 兩物體對調，施以同樣的外力，經同樣的時間後右方的繩子突然斷裂，則斷裂後經幾秒 B 物體會撞及 A 物體？
方法二(國中生的解法):
步驟1：斷裂瞬間的共同速度
由於系統總質量 (10 kg) 和總摩擦力 (25 N) 不變，系統的初始加速度仍然是 7.5 m/s²。
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4秒末速度 (v_4s): v = v₀ + at = 0 + (7.5 m/s²) * 4 s = 30 m/s
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在斷裂的瞬間，A 和 B 的速度均為 30 m/s。
步驟2：斷裂後的各自加速度
外力消失後，A 和 B 各自因摩擦力而減速。
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A 的新加速度 (a_A'): a_A' = -f_A / m_A = -20 N / 5 kg = -4 m/s²
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B 的新加速度 (a_B'): a_B' = -f_B / m_B = -5 N / 5 kg = -1 m/s²
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情境判斷： 這次 A (減速快) 在後，B (減速慢) 在前。後方的 A 減速比前方的 B 更快，所以它們之間的距離會縮小，最終 A 會追上並撞擊 B。（註：此處應為 B 撞擊 A，因為 A 在前方減速更快）
修正分析：在新配置下，A 在前，B 在後。A 的減速度 (-4 m/s²) 大於 B 的減速度 (-1 m/s²)。因為前方的 A 減速更快，後方的 B 必然會追上來。
步驟3：計算追撞時間 (應用相對運動)
我們需要計算 B 比 A 多行駛 1 公尺（繩長）所需的時間 t'。
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設定座標： 以斷裂瞬間 B 的位置為原點 x_B(0) = 0，則 A 的初始位置為 x_A(0) = 1 m。
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位移公式： d = v₀t' + (1/2)at'²
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A 的位置方程： x_A(t') = 1 + 30t' + (1/2)(-4)t'² = 1 + 30t' - 2t'²
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B 的位置方程： x_B(t') = 0 + 30t' + (1/2)(-1)t'² = 30t' - 0.5t'²
當 B 撞上 A 時，它們的位置相同：x_A(t') = x_B(t')
1 + 30t' - 2t'² = 30t' - 0.5t'²
兩邊消去 30t'：
1 = 2t'² - 0.5t'²
1 = 1.5t'²
t'² = 1 / 1.5 = 2/3
因此，斷裂後經過 √(2/3) 秒，B 物體會撞上 A 物體。
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